그룹(Group)은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합 을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다. 그룹의 4가지 조건 (Group Axioms) 어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 그룹이라고 부릅니다. 1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure) a * b 는 반드시 집합 G의 원소이다. 집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다. 2. 결합법칙 성립 (Associativity) (a * b) * c = a * (b * c) 세 원소를 연산할 때, 앞의 두 원소를 먼저 계산하든 뒤의 두 원소를 먼저 계산하든 결과는 항상 같아야 합니다. 이는 연산 순서에 대한 일관성을 보장합니다. 3. 항등원 존재 (Identity Element) 모든 a 에 대해 a * e = e * a = a 를 만족하는 원소 e 가 집합 G 안에 존재한다. 항등원( e )은 다른 원소와 연산했을 때 자기 자신을 그대로 돌려주는 특별한 원소입니다. 덧셈에서는 0이, 곱셈에서는 1이 항등원의 역할을 합니다. 4. 역원 존재 (Inverse Element) 집합 G의 모든 원소 a 에 대해, $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ 를 만족하는 역원( $a^{-1}$ )이 G 안에 반드시 존재한다. 역원은 어떤 원소와 연산했을 때 항등원을 만들어내는 짝꿍입니다. 예를 들어, 덧셈에서 정수 5의 역원은 -5이며, 곱셈에서 5의 역원은 1/5입니다. 가환 그룹 (아벨 군) 만약 위의 네 가지 기본 조건에 더해, 교환법칙까지 성립하...