천천히, 제대로

타원 곡선 암호(Elliptic Curve Cryptography, ECC)는 현대 디지털 보안의 핵심 기술입니다. 비트코인과 같은 암호화폐는 물론, 우리가 매일 사용하는 메시징 앱의 종단간 암호화, 웹사이트 접속에 쓰이는 HTTPS 통신 등 수많은 곳에서 데이터를 안전하게 지키고 있죠. 이 기술의 심장에는 '타원 곡선'이라는 특별한 수학적 구조와 그것이 이루는 '순환 그룹(Cyclic Group)'이라는 특성이 자리 잡고 있습니다. 1. 타원 곡선: 점들의 특별한 덧셈 규칙 타원 곡선은 특정 방정식(보통 y² = x³ + ax + b 형태)을 만족하는 점(x, y)들의 집합입니다. 이 곡선 위의 점들은 매우 독특하고 강력한 덧셈 규칙을 가지고 있습니다. 타원 곡선 위에서 두 점의 덧셈 (출처: desmos ) 점 덧셈 (P + Q = R): 곡선 위의 서로 다른 두 점 P와 Q를 지나는 직선을 긋습니다. 이 직선은 곡선과 또 다른 한 점(-R)에서 만나게 됩니다. 이 점을 x축에 대해 대칭시킨 점이 바로 R, 즉 P와 Q의 합입니다. 점 두 배 (P + P = 2P): 한 점 P에서 곡선에 접선을 긋습니다. 이 접선은 곡선과 또 다른 한 점(-R)에서 만납니다. 이 점을 x축에 대칭시킨 점 R이 P를 두 배 한 결과(2P)입니다. 이 연산에는 중요한 '무한점(Point at Infinity)'이라는 항등원(숫자 0과 같은 역할)이 존재하여, 어떤 점 P와 그 역원(-P)을 더하면 무한점이 됩니다. 이러한 덧셈 규칙 덕분에, 타원 곡선 위의 점들은 '아벨 그룹(Abelian Group)', 즉 교환법칙이 성립하는 그룹을 형성합니다. 2. 순환 그룹: 생성점 G로 모든 것을 만들다 타원 곡선 그룹의 가장 중요한 특징은 바로 순환 그룹이라는 점입니다. 순환 그룹이란? 그룹 내의 생성점(Generator, G)이라는 특별한 점 하나를 반복해서 더하는 것만으로 그룹 안의 모든 점들을 만들어낼 수 있는 그룹...

그룹(Group)은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합 을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다. 그룹의 4가지 조건 (Group Axioms) 어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 그룹이라고 부릅니다. 1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure) a * b 는 반드시 집합 G의 원소이다. 집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다. 2. 결합법칙 성립 (Associativity) (a * b) * c = a * (b * c) 세 원소를 연산할 때, 앞의 두 원소를 먼저 계산하든 뒤의 두 원소를 먼저 계산하든 결과는 항상 같아야 합니다. 이는 연산 순서에 대한 일관성을 보장합니다. 3. 항등원 존재 (Identity Element) 모든 a 에 대해 a * e = e * a = a 를 만족하는 원소 e 가 집합 G 안에 존재한다. 항등원( e )은 다른 원소와 연산했을 때 자기 자신을 그대로 돌려주는 특별한 원소입니다. 덧셈에서는 0이, 곱셈에서는 1이 항등원의 역할을 합니다. 4. 역원 존재 (Inverse Element) 집합 G의 모든 원소 a 에 대해,  $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ 를 만족하는 역원( $a^{-1}$ )이 G 안에 반드시 존재한다. 역원은 어떤 원소와 연산했을 때 항등원을 만들어내는 짝꿍입니다. 예를 들어, 덧셈에서 정수 5의 역원은 -5이며, 곱셈에서 5의 역원은 1/5입니다. 가환 그룹 (아벨 군) 만약 위의 네 가지 기본 조건에 더해, 교환법칙까지 성립하...