그룹(Group)은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다.
그룹의 4가지 조건 (Group Axioms)
어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 그룹이라고 부릅니다.
1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure)
- a * b는 반드시 집합 G의 원소이다.
- 집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다.
2. 결합법칙 성립 (Associativity)
- (a * b) * c = a * (b * c)
- 세 원소를 연산할 때, 앞의 두 원소를 먼저 계산하든 뒤의 두 원소를 먼저 계산하든 결과는 항상 같아야 합니다. 이는 연산 순서에 대한 일관성을 보장합니다.
3. 항등원 존재 (Identity Element)
- 모든 a에 대해 a * e = e * a = a를 만족하는 원소 e가 집합 G 안에 존재한다.
- 항등원(e)은 다른 원소와 연산했을 때 자기 자신을 그대로 돌려주는 특별한 원소입니다. 덧셈에서는 0이, 곱셈에서는 1이 항등원의 역할을 합니다.
4. 역원 존재 (Inverse Element)
- 집합 G의 모든 원소 a에 대해, $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$를 만족하는 역원($a^{-1}$)이 G 안에 반드시 존재한다.
- 역원은 어떤 원소와 연산했을 때 항등원을 만들어내는 짝꿍입니다. 예를 들어, 덧셈에서 정수 5의 역원은 -5이며, 곱셈에서 5의 역원은 1/5입니다.
가환 그룹 (아벨 군)
만약 위의 네 가지 기본 조건에 더해, 교환법칙까지 성립하면 그 군을 특별히 가환 그룹(Commutative Group) 또는 아벨 군(Abelian Group)이라고 부릅니다.
- 교환법칙 (Commutativity): a * b = b * a
정수의 덧셈처럼 연산 순서를 바꿔도 결과가 같은 경우가 여기에 해당합니다. 하지만 행렬의 곱셈처럼 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 연산은 교환법칙이 성립하지 않으므로 가환 그룹이 아닙니다.
순환 그룹
순환 그룹(Cyclic Group)은 단 하나의 원소, 즉 생성원(generator)을 반복적으로 연산하여 그룹 내의 모든 원소를 만들어낼 수 있는 매우 단순하고 규칙적인 구조를 가진 그룹입니다.
마치 하나의 벽돌(생성원)만으로 전체 건물을 쌓아 올리는 것과 같습니다.
핵심 개념: 생성원 (Generator)
순환 그룹의 가장 중요한 특징은 생성원의 존재입니다. 생성원을 g라고 할 때, 그룹의 모든 원소는 g를 자기 자신과 반복적으로 연산해서 얻을 수 있습니다.
- 곱셈 연산의 경우: $\{..., g^{-2}, g^{-1}, e, g^1, g^2, ...\}$ 와 같이 거듭제곱 형태로 모든 원소가 표현됩니다. (e는 항등원)
- 덧셈 연산의 경우: $\{..., -2g, -g, 0, g, 2g, ...\}$ 와 같이 정수배 형태로 모든 원소가 표현됩니다. (0은 항등원)
한 그룹에 생성원은 여러 개일 수도 있습니다.
순환 그룹의 종류와 예시
순환 그룹은 원소의 개수에 따라 무한 순환 그룹과 유한 순환 그룹으로 나뉩니다.
1. 무한 순환 그룹 (Infinite Cyclic Group)
원소의 개수가 무한한 그룹입니다. 가장 대표적인 예는 정수 집합(ℤ)과 덧셈 연산입니다.
- 그룹: (ℤ, +)
- 생성원: 1 또는 -1
- 생성원 '1'을 사용하면 모든 정수를 만들 수 있습니다.
- 1 + 1 + 1 = 3
- (-1) + (-1) = -2
- 1 + (-1) = 0 (항등원)
- 마찬가지로 '-1'을 사용해도 모든 정수를 표현할 수 있습니다.
2. 유한 순환 그룹 (Finite Cyclic Group)
원소의 개수가 유한한 그룹입니다. 가장 대표적인 예는 정수 나머지(모듈러) 연산 그룹입니다.
- 그룹: $(ℤ_n, +_n)$ (n으로 나눈 나머지의 덧셈)
- 예시: $ℤ_4$
- 원소: {0, 1, 2, 3}
- 생성원: 1 또는 3
- 생성원 '1'을 가지고 연산을 반복해 보겠습니다.
- 1
- 1 + 1 = 2
- 1 + 1 + 1 = 3
- 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ≡ 0 (mod 4) (항등원으로 순환)
- 이렇게 '1'을 반복해서 더하는 것만으로 모든 원소 {0, 1, 2, 3}을 만들 수 있습니다. 생성원 '3'도 마찬가지입니다.
- 3
- 3 + 3 = 6 ≡ 2 (mod 4)
- 3 + 3 + 3 = 9 ≡ 1 (mod 4)
- 3 + 3 + 3 + 3 = 12 ≡ 0 (mod 4)
순환 그룹의 주요 특징
- 모든 순환 그룹은 가환 그룹(Abelian Group)입니다. 생성원의 거듭제곱 또는 배수로 모든 원소가 표현되므로, 연산의 교환법칙(a * b = b * a)이 항상 성립합니다.
- 순환 그룹의 모든 부분그룹(subgroup) 역시 순환 그룹입니다. 전체 구조가 단순한 만큼, 그 일부인 부분그룹도 동일한 순환 구조를 가집니다.
- 구조가 매우 명확합니다. 생성원과 원소의 개수만 알면 그룹 전체의 구조를 완벽하게 파악할 수 있습니다. 이 때문에 추상대수학에서 다른 복잡한 그룹들을 분석하는 데 있어 기준으로 사용됩니다.
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