MATH-01. 그룹(Group, 군)과 필드(Field, 체)

그룹이 필드보다 더 단순하고 일반적인 개념이며, 필드를 정의하기 위한 기본적인 구성 요소로 사용됩니다.

더 일반적이고 단순한 구조

그룹: 단 하나의 연산과 네 가지 기본 규칙(닫힘, 결합법칙, 항등원, 역원)만 만족하면 성립합니다. 이 단순함 덕분에 대칭성을 가지는 거의 모든 대상(예: 도형의 회전, 분자 구조, 암호학)에서 그룹의 구조를 발견할 수 있습니다.
필드: 두 개의 연산(덧셈, 곱셈)이 필요하며, 각 연산에 대해 그룹과 유사한 규칙들(특히 교환법칙까지)을 만족해야 하고, 두 연산을 연결하는 분배법칙까지 성립해야 합니다. 조건이 훨씬 까다롭기 때문에, 필드가 되는 대상은 그룹이 되는 대상보다 훨씬 제한적입니다.

쉽게 말해, 모든 필드는 그 안에 그룹의 구조를 포함하고 있지만, 모든 그룹이 필드가 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 정수의 집합은 덧셈에 대해 그룹을 이루지만, 곱셈에 대한 역원이 없으므로 필드는 아닙니다.

필드의 정의 자체를 살펴보면 그룹이 얼마나 근본적인지 알 수 있습니다.

필드(F)란?

이처럼 필드는 사실상 두 개의 그룹 구조를 뼈대로 삼고, 분배법칙으로 두 뼈대를 연결한 구조입니다. 따라서 그룹이라는 개념 없이는 필드를 정의할 수 없습니다.

그룹은 추상 대수학의 가장 기본적인 '벽돌' 중 하나와 같습니다. 이 벽돌을 이용해 링(Ring), 필드(Field)와 같은 더 복잡하고 특수한 구조들을 쌓아 올리는 것입니다.