우리가 흔히 아는 유리수, 실수, 복소수 집합 외에도 숫자가 아닌 원소들로 구성된 필드가 존재하며, 수학의 여러 분야에서 매우 중요하게 사용됩니다.
가장 대표적인 예는 유한체(Finite Field) 또는 갈루아 체(Galois Field)와 함수체(Function Field)입니다.
유한체 (Finite Fields)
유한체는 이름 그대로 원소의 개수가 유한한 필드입니다. 이 필드의 원소들은 우리가 일반적으로 생각하는 숫자가 아니라, 특정 규칙에 따라 연산되는 '기호'나 '상징'으로 볼 수 있습니다.
가장 단순한 유한체의 예는 $Z_p$ (또는 GF(p))입니다. 여기서 p는 소수입니다. 이 필드의 원소는 {0,1,2,…,p−1} 이고, 모든 연산은 p로 나눈 나머지를 기준으로 하는 모듈러 연산(modular arithmetic)으로 정의됩니다.
예시: $Z_2$ (또는 GF(2)) 필드
- 원소: {0, 1}
- 덧셈:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 0 (2를 2로 나눈 나머지는 0)
- 곱셈:
- 0 · 0 = 0
- 0 · 1 = 0
- 1 · 0 = 0
- 1 · 1 = 1
이 집합 {0, 1}과 위의 연산 규칙은 덧셈, 뺄셈(덧셈의 역원), 곱셈, 나눗셈(곱셈의 역원)에 대한 필드의 모든 공리를 만족합니다. 예를 들어, 1의 덧셈에 대한 역원은 1 자신이며, 1의 곱셈에 대한 역원도 1 자신입니다.
이러한 유한체는 숫자의 집합이라기보다는, 특정 규칙을 따르는 기호들의 집합으로 볼 수 있습니다. 유한체는 암호학(cryptography), 코딩 이론(coding theory), 컴퓨터 과학 등에서 핵심적인 역할을 합니다.
함수체 (Function Fields)
유리함수(rational functions)의 집합 역시 필드를 이룰 수 있습니다. 유리함수는 두 다항식의 분수 형태로 표현되는 함수입니다.
예시: 실수 계수를 갖는 유리함수체 R(x)
이 필드의 원소는 변수 x에 대한 유리함수, 즉 $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ 형태의 함수들입니다. (단, $P(x)$와 $Q(x)$는 실수 계수를 갖는 다항식이고, $Q(x)$는 영함수가 아닙니다.)
- 원소: $\frac{1}{x}$, $\frac{x^2+1}{x−3}$ 와 같은 함수들
- 연산: 우리가 아는 일반적인 함수의 덧셈과 곱셈 규칙을 따릅니다.
- 덧셈: $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2(x)} = \frac{P_1(x)Q_2(x)+P_2(x)Q_1(x)}{Q_1(x)Q_2(x)}$
- 곱셈: $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}⋅\frac{P_2(x)}{Q_2(x)} = \frac{P_1(x)P_2(x)}{Q_1(x)Q_2(x)}$
이 유리함수들의 집합과 함수의 연산은 필드의 모든 공리를 만족합니다.
- 덧셈의 항등원: 영함수 $f(x) = 0$
- 곱셈의 항등원: 상수함수 $f(x) = 1$
- 곱셈의 역원: 함수 $\frac{P(x)}{Q(x)}$의 역원은 $\frac{Q(x)}{P(x)}$ 입니다.
이처럼, 원소들이 '숫자'가 아닌 '함수'여도 사칙연산과 유사한 구조적 성질만 만족하면 완벽한 필드가 될 수 있습니다. 함수체는 대수기하학(algebraic geometry)과 같은 고등 수학 분야에서 매우 중요한 대상입니다.
결론적으로, 필드는 원소의 종류보다는 연산의 구조와 규칙에 의해 정의되는 추상적인 개념이기 때문에, 숫자뿐만 아니라 다양한 형태의 원소들로 구성될 수 있습니다.
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