천천히, 제대로

그룹이 필드보다 더 단순하고 일반적인 개념이며, 필드를 정의하기 위한 기본적인 구성 요소로 사용됩니다. 더 일반적이고 단순한 구조 그룹: 단 하나의 연산과 네 가지 기본 규칙(닫힘, 결합법칙, 항등원, 역원)만 만족하면 성립합니다. 이 단순함 덕분에 대칭성을 가지는 거의 모든 대상(예: 도형의 회전, 분자 구조, 암호학)에서 그룹의 구조를 발견할 수 있습니다. 필드: 두 개의 연산(덧셈, 곱셈)이 필요하며, 각 연산에 대해 그룹과 유사한 규칙들(특히 교환법칙까지)을 만족해야 하고, 두 연산을 연결하는 분배법칙까지 성립해야 합니다. 조건이 훨씬 까다롭기 때문에, 필드가 되는 대상은 그룹이 되는 대상보다 훨씬 제한적입니다. 쉽게 말해, 모든 필드는 그 안에 그룹의 구조를 포함하고 있지만, 모든 그룹이 필드가 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 정수의 집합은 덧셈에 대해 그룹을 이루지만, 곱셈에 대한 역원이 없으므로 필드는 아닙니다. 필드를 정의하는 기본 구성 요소 필드의 정의 자체를 살펴보면 그룹이 얼마나 근본적인지 알 수 있습니다. 필드(F)란? 집합 F가 덧셈에 대해 교환법칙이 성립하는 그룹(Abelian group)을 이룬다. 집합 F에서 0을 제외한 원소들이 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하는 그룹(Abelian group)을 이룬다. 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립한다. 이처럼 필드는 사실상 두 개의 그룹 구조를 뼈대로 삼고, 분배법칙으로 두 뼈대를 연결한 구조입니다. 따라서 그룹이라는 개념 없이는 필드를 정의할 수 없습니다. 결론 그룹은 추상 대수학의 가장 기본적인 '벽돌' 중 하나와 같습니다. 이 벽돌을 이용해 링(Ring), 필드(Field)와 같은 더 복잡하고 특수한 구조들을 쌓아 올리는 것입니다.

그룹(Group)은 추상대수학의 가장 기본적인 개념으로, 특정 규칙들을 만족하는 집합과 그 집합에 정의된 연산의 조합 을 말합니다. 어떤 집합 G와 그 위의 이항 연산(예: 덧셈 '+' 또는 곱셈 '×')이 '그룹'이 되려면 다음 네 가지 기본 조건(공리)을 반드시 만족해야 합니다. 그룹의 4가지 조건 (Group Axioms) 어떤 집합 G와 연산 '*'에 대해, 집합 안의 임의의 원소 a, b, c가 다음 규칙을 만족할 때 (G, *)를 그룹이라고 부릅니다. 1. 연산에 대해 닫혀 있다 (Closure) a * b 는 반드시 집합 G의 원소이다. 집합 안의 어떤 두 원소를 가져와 연산해도 그 결과는 항상 그 집합 안에 있어야 합니다. 예를 들어, 두 정수를 더하면 항상 정수가 되므로, 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있습니다. 2. 결합법칙 성립 (Associativity) (a * b) * c = a * (b * c) 세 원소를 연산할 때, 앞의 두 원소를 먼저 계산하든 뒤의 두 원소를 먼저 계산하든 결과는 항상 같아야 합니다. 이는 연산 순서에 대한 일관성을 보장합니다. 3. 항등원 존재 (Identity Element) 모든 a 에 대해 a * e = e * a = a 를 만족하는 원소 e 가 집합 G 안에 존재한다. 항등원( e )은 다른 원소와 연산했을 때 자기 자신을 그대로 돌려주는 특별한 원소입니다. 덧셈에서는 0이, 곱셈에서는 1이 항등원의 역할을 합니다. 4. 역원 존재 (Inverse Element) 집합 G의 모든 원소 a 에 대해,  $a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$ 를 만족하는 역원( $a^{-1}$ )이 G 안에 반드시 존재한다. 역원은 어떤 원소와 연산했을 때 항등원을 만들어내는 짝꿍입니다. 예를 들어, 덧셈에서 정수 5의 역원은 -5이며, 곱셈에서 5의 역원은 1/5입니다. 가환 그룹 (아벨 군) 만약 위의 네 가지 기본 조건에 더해, 교환법칙까지 성립하...