수학에서 필드(Field), 우리말로는 체(體)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 경우 제외)이라는 네 가지 기본 연산, 즉 사칙연산이 자유롭게 가능하고 우리가 일반적으로 사용하는 수의 체계와 유사한 성질을 만족하는 대수적 구조를 말합니다. 쉽게 말해, 필드는 우리가 일상적으로 숫자를 다루는 방식의 규칙들을 엄밀하게 정의해 놓은 집합이라고 할 수 있습니다.
필드가 되기 위해서는 특정 공리(Axiom)들을 만족해야 합니다. 이 공리들은 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산에 대해 정의됩니다.
필드의 공리 (Field Axioms)
어떤 집합 F가 두 연산 '+'(덧셈)와 '·'(곱셈)에 대해 필드라고 불리기 위해서는 다음의 조건들을 모두 만족해야 합니다.
덧셈에 관한 공리 (F, +)는 가환군(Abelian Group)을 이룬다:
- 닫힘: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a + b 도 F에 속한다.
- 결합법칙: F에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대해, (a + b) + c = a + (b + c) 가 성립한다.
- 항등원 존재: 모든 원소 a에 대해 a + 0 = a 를 만족하는 '덧셈에 대한 항등원' 0이 F에 존재한다.
- 역원 존재: F의 각 원소 a에 대해 a + (-a) = 0 을 만족하는 '덧셈에 대한 역원' -a가 F에 존재한다. (이를 통해 뺄셈이 정의됩니다: a - b = a + (-b))
- 교환법칙: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a + b = b + a 가 성립한다.
곱셈에 관한 공리 (F \ {0}, ·)는 가환군(Abelian Group)을 이룬다:
- 닫힘: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a · b 도 F에 속한다.
- 결합법칙: F에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대해, (a · b) · c = a · (b · c) 가 성립한다.
- 항등원 존재: 모든 원소 a에 대해 a · 1 = a 를 만족하는 '곱셈에 대한 항등원' 1이 F에 존재한다. (단, 1은 0과 다른 원소여야 한다.)
- 역원 존재: 0을 제외한 F의 각 원소 a에 대해 a · a⁻¹ = 1 을 만족하는 '곱셈에 대한 역원' a⁻¹이 F에 존재한다. (이를 통해 나눗셈이 정의됩니다: a / b = a · b⁻¹)
- 교환법칙: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a · b = b · a 가 성립한다.
분배법칙
- F에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대해, a · (b + c) = (a · b) + (a · c) 가 성립한다.
필드의 예와 그렇지 않은 예
이러한 공리들을 통해 어떤 집합이 필드인지 아닌지를 명확하게 구분할 수 있습니다.
대표적인 필드의 예
- 유리수 집합 (Q): 분수로 나타낼 수 있는 모든 수의 집합으로, 사칙연산에 대해 닫혀 있으며 모든 필드 공리를 만족합니다.
- 실수 집합 (R): 유리수와 무리수를 포함하는 수직선 위의 모든 수의 집합으로, 역시 필드를 이룹니다. 이는 해석학의 기본적인 배경이 됩니다.
- 복소수 집합 (C): a+bi (여기서 a, b는 실수, i는 허수 단위) 형태로 나타낼 수 있는 모든 수의 집합으로, 필드를 이룹니다. 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 다항식은 복소수 범위에서 해를 가집니다.
필드가 아닌 예
- 정수 집합 (Z): 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀 있지만, 나눗셈에 대해서는 닫혀 있지 않습니다. 예를 들어, 3과 2는 정수이지만 3 ÷ 2 = 1.5는 정수가 아닙니다. 즉, 곱셈에 대한 역원이 항상 존재하지 않으므로 필드가 아닙니다. (정수 집합은 '환(Ring)'이라는 다른 대수 구조를 형성합니다.)
- 자연수 집합 (N): 덧셈과 곱셈만 자유롭게 가능하며, 뺄셈(예: 3 - 5)과 나눗셈(예: 1 ÷ 2)의 결과가 항상 자연수인 것은 아니므로 필드가 아닙니다.
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