수학에서 필드(Field), 우리말로는 체(體)는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(0으로 나누는 경우 제외)이라는 네 가지 기본 연산, 즉 사칙연산이 자유롭게 가능하고 우리가 일반적으로 사용하는 수의 체계와 유사한 성질을 만족하는 대수적 구조를 말합니다. 쉽게 말해, 필드는 우리가 일상적으로 숫자를 다루는 방식의 규칙들을 엄밀하게 정의해 놓은 집합이라고 할 수 있습니다. 필드가 되기 위해서는 특정 공리(Axiom)들을 만족해야 합니다. 이 공리들은 덧셈과 곱셈이라는 두 가지 연산에 대해 정의됩니다. 필드의 공리 (Field Axioms) 어떤 집합 F가 두 연산 '+'(덧셈)와 '·'(곱셈)에 대해 필드라고 불리기 위해서는 다음의 조건들을 모두 만족해야 합니다. 덧셈에 관한 공리 (F, +)는 가환군(Abelian Group)을 이룬다: 닫힘: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a + b 도 F에 속한다. 결합법칙: F에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대해, (a + b) + c = a + (b + c) 가 성립한다. 항등원 존재: 모든 원소 a에 대해 a + 0 = a 를 만족하는 '덧셈에 대한 항등원' 0이 F에 존재한다. 역원 존재: F의 각 원소 a에 대해 a + (-a) = 0 을 만족하는 '덧셈에 대한 역원' -a가 F에 존재한다. (이를 통해 뺄셈이 정의됩니다: a - b = a + (-b)) 교환법칙: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a + b = b + a 가 성립한다. 곱셈에 관한 공리 (F \ {0}, ·)는 가환군(Abelian Group)을 이룬다: 닫힘: F에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대해, a · b 도 F에 속한다. 결합법칙: F에 속하는 임의의 세 원소 a, b, c에 대해, (a · b) · c = a · (b · c) 가 성립한다. 항등원 존재: 모든 원소 a에 대해 a · 1 = a 를 만족하는 '곱셈에 대...