ZKPMATH-02. 이차 형식(Quadratic Form)과 행렬 표현

1. 이차 형식(Quadratic Form) 정의

이차 형식은 간단히 말해 모든 항이 2차인 다변수 다항식을 의미합니다. 변수가 $x_1, x_2, \dots, x_n$일 때, 각 항이 변수 두 개의 곱으로만 이루어져 있습니다.

예를 들어, 변수가 두 개($x, y$)일 때 이차 형식은 다음과 같은 꼴을 가집니다.

$$f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$

여기서 $a, b, c$는 상수 계수입니다. 모든 항($x^2, xy, y^2$)이 변수가 두 번 곱해진 2차 항인 것을 볼 수 있습니다. 변수가 세 개($x, y, z$)라면 아래와 같은 형태가 됩니다.

$$f(x, y, z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx$$

이처럼 이차 형식은 여러 변수들의 제곱 항과 두 변수 간의 곱의 항들의 선형 결합으로 표현됩니다.

모든 이차 형식은 대칭행렬을 이용하여 간결하게 표현할 수 있습니다. 이는 이차 형식을 분석하고 이해하는 데 매우 중요합니다.

이차 형식 $Q(\mathbf{x})$는 벡터 $\mathbf{x}$와 대칭행렬 $A$를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$$

여기서,

$\mathbf{x}$는 변수들을 원소로 갖는 열벡터입니다. ($\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$)
$\mathbf{x}^T$는 $\mathbf{x}$의 전치행렬(행벡터)입니다. ($\mathbf{x}^T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}$)
$A$는 계수들로 이루어진 $n \times n$ 대칭행렬입니다.

행렬로 바꾸는 방법:

대각선 원소 ($A_{ii}$): 제곱항($x_i^2$)의 계수를 그대로 가져옵니다.
비대각선 원소 ($A_{ij}, i \neq j$): 혼합항($x_i x_j$)의 계수를 반으로 나누어 $A_{ij}$와 $A_{ji}$에 각각 배치합니다. 이렇게 하면 행렬 $A$는 항상 대칭행렬($A = A^T$)이 됩니다.

예시:

앞서 본 이차 형식 $f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$를 행렬로 표현해 봅시다.

따라서 행렬 표현은 다음과 같습니다.

$$f(x, y) = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$